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警察与小偷博弈(博弈论的诡计)
[ 作者:  加入时间:2010-12-19 01:37:47  来自: ]

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某个小镇上只有一名警察,他负责整个镇的治安。现在我们假定,小镇的一头有一家酒馆,另一头有一家银行。再假定该地只有一个小偷。因为分身乏术,警察一次只能在一个地方巡逻;而小偷也只能去一个地方。若警察选择了小偷偷盗的地方巡逻,就能把小偷抓住;而如果小偷选择了没有警察巡逻的地方偷盗,就能够偷窃成功。假定银行需要保护的财产价格为2万元,酒馆的财产价格为1万元。警察怎么巡逻才能使效果最好?

 一种最容易被警察采用而且确实也更为常见的做法是,警察对银行进行巡逻。这样,警察可以保住2万元的财产不被偷窃。但是假如小偷去了酒馆,偷窃一定成功。这种做法是警察的最好做法吗?答案是否定的,因为我们完全可以通过博弈论的知识,对这种策略加以改进。

警察的一个最好的策略是,抽签决定去银行还是酒馆。因为银行的价值是酒馆的两倍,所以用两个签代表,比如抽到1、2号签去银行,抽到3号签去酒馆。这样警察有2/3的机会去银行进行巡逻,1/3的机会去酒馆。

而在这种情况下,小偷的最优策略是:以同样抽签的办法决定去银行还是去酒馆偷盗,与警察不同的是抽到1、2号签去酒馆,抽到3号签去银行。这样小偷有1/3的机会去银行,2/3的机会去酒馆。

警察与小偷之间的博弈,提供了混合策略的思路,但更形象的样板是“剪刀、石头、布”的游戏。在这样一个游戏中,不存在纯策略均衡。对每个小孩来说,出“剪刀”、“布”还是“石头”的策略应当是随机的,不能让对方知道自己的策略,甚至是策略的倾向性。一旦对方知道自己出某个策略的可能性增大,那么在游戏中输的可能性也就增大了。

还有一种常见的混合策略样板就是猜硬币游戏。比如在足球比赛开场,裁判将手中的硬币抛掷到空中,让双方队长猜硬币落下后朝上的是正面还是反面。由于硬币落下地的正反是随机的,概率都是1/2。那么,猜硬币游戏的参与者选择正反的概率都是1/2,这时博弈达到混合策略纳什均衡。

这一类博弈与囚徒困境博弈案例有一个很大的差别,就是没有纯策略纳什均衡点,只有混合策略均衡点。这个均衡点下的策略选择是每个参与者的最优(混合)策略选择。对混合策略的传统解释是,局中人应用一种随机方法来决定所选择的策略。

从警察和小偷的不同角度计算最佳混合策略,会得到一个有趣的共同点:同样的成功概率。也就是说,警察若采用自己的最佳混合策略,就能将小偷的成功概率(5/9,收益为2*1/9+1*4/9=6/9)拉到他采用自己的最佳混合策略所能达到的成功概率(4/9,收益为2*2/9+1*2/9=6/9)。

这并非巧合,而是两个选手的利益严格对立的所有博弈的一个共同点。这个结果称为“最小最大定理”,由数学家约翰·冯·诺伊曼(John Von Neumann)创立。这一定理指出,在二人零和博弈中。参与者的利益严格相反(一人所得等于另一人所失),每个参与者尽量使对手的最大收益最小化,而他的对手则努力使自己的最小收益最大化。他们这样做的时候,会出现一个令人惊讶的结果,即最大收益的最小值(最小最大收益)等于最小收益的最大值(最大最小收益)。双方都没办法改善自己的收益,因此这些策略形成这个博弈的一个均衡。最小最大定理的证明相当复杂,不过,其结论却很实用。假如你想知道的只不过是一个选手之得或者另一个选手之失。你只要计算其中一个选手的最佳混合策略并得出结果就行了。

所有混合策略的均衡具有一个共同点:每个参与者并不在意自己的任何具体策略。一旦有必要采取混合策略,找出你自己的策略的方法,就是让对手觉得他们的任何策略对你的下一步都没有影响。

这听上去像是朝向混沌无为的一种倒退,其实不然。因为它正好符合零和博弈的随机化动机:一方面要发现对手任何有规则的行为,并相应采取行动。假如他们确实倾向于采取某一种特别的行动,这只能表示他们选择了最糟糕的策略。反过来,也要避免一切会被对方占便宜的模式,坚持自己的最佳混合策略。

因此,采取混合或者随机策略,并不等同于毫无策略地“瞎出”,这里面仍然有很强的策略性。其基本要点在于,运用偶然性防止别人发现你的有规则行为并占你的便宜。

在传统政治中,有所谓“君臣一日而百战”的说法,来形容国君与大臣之间博弈的激烈程度。因为激烈,所以其层出不穷的招式,给博弈论的研究提供了丰富的案例。

《吕氏春秋》中记载了这样一个故事。战国时,宋康王极端变态,整天喝酒,异常暴虐。凡群臣中有来劝谏的,都被他找理由撤职或者关押起来。臣下也因此对他更加反感,经常非议他。他十分苦恼地对宰相唐鞅说:“我处罚的人很多了,但是大臣们越发不畏惧我,这是什么原因呢7”唐鞅说:“您所治罪的,都是一些犯了法的人。惩罚他们,没有犯法的好人当然不会害怕。如果您要让您的臣子们害怕,就必须不区分好人坏人,也不管他犯法没有犯法,随便抓住就治罪。这样的话,大臣们就知道害怕了。”

唐鞅提出的这个建议,虽然缺德了一些,但却不能不说是深刻地把握住了混合策略博弈的精髓之处。能够预测的惩罚,大臣总会想方设法地加以规避,而无法预测的惩罚,却是防不胜防的,因而也是更令人心惊胆战的。

宋康王也是个聪明人,听了这个主意以后恍然大悟,深深地点了点头。不久,他就下令把唐鞅杀了,大臣们果然十分害怕,每天上朝时都战战兢兢不敢多说一句话。


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